Il termine in origine indicava lo studio delle grandezze, dei numeri e delle figure geometriche, nonché delle relazioni e delle operazioni logiche tra queste quantità.

La matematica era quindi propriamente divisa in geometria, o scienza delle quantità e delle dimensioni geometriche, aritmetica, o scienza dei numeri e del contare, e in algebra, cioè nella generalizzazione astratta di questi due campi.

Verso la metà del XIX secolo questa definizione divenne sempre più inaccettabile e la matematica cominciò a essere la scienza delle relazioni, o la scienza che trae conclusioni necessarie, e a comprendere i nuovi campi della logica matematica e simbolica. Furono così introdotti nuovi simboli per dare una forma rigorosa ai processi di deduzione e di induzione oltre a definizioni, assiomi, postulati e regole per elaborare relazioni e teoremi complessi, a partire da concetti elementari e primitivi.

Si può dire che la matematica sia nata con l’umanità: le prime testimonianze di alcune nozioni di geometria e dell’interesse per le forme geometriche sono state infatti individuate nei disegni del vasellame e dei tessuti, e nelle pitture rupestri d’epoca preistorica.

I sistemi di conteggio primitivi, sviluppati in seguito a esigenze pratiche, erano quasi certamente basati sull’uso delle dita di una o di entrambe le mani, come suggerito dalla predominanza del numero cinque o del numero dieci come basi degli attuali sistemi di numerazione.

Le prime testimonianze di una matematica avanzata e organizzata risalgono al periodo della civiltà babilonese e di quella egizia, intorno al III millennio a.C. Allora l’aritmetica e la geometria erano applicate a problemi di natura prettamente empirica, come la definizione dei confini dei campi dopo le inondazioni del Nilo, e non vi era traccia di concetti matematici astratti e complessi quali quelli di assioma e di dimostrazione. I primi testi egizi, elaborati intorno al 1800 a.C., rivelano che era in uso un sistema di numerazione decimale, cioè basato su simboli distinti per indicare le potenze di 10(cioè 1, 10, 100 ecc.), simile al sistema adottato in seguito dai romani.

In geometria essi giunsero alle formule corrette per il calcolo dell’area dei triangoli, dei rettangoli, dei trapezi, e del volume di figure solide some i parallelepipedi, i cilindri e, naturalmente, le piramidi.

I babilonesi adottarono un sistema di numerazione sessagesimale, cioè in base sessanta, che differiva notevolmente da quello egizio. Col tempo i babilonesi svilupparono un sofisticato sistema matematico mediante il quale potevano determinare le soluzioni positive di qualunque equazione quadratica e le radici di alcune equazioni di terzo grado.

Essi disponevano di un gran numero di tavole, comprese quelle per la moltiplicazione e la divisione, quelle dei quadrati e dell’interesse composto. Risolvevano anche complicati problemi applicando il teorema di Pitagora, e una delle loro tavole conteneva addirittura le soluzioni intere dell’equazione a²+b²=c², ordinate in modo che c²/a² decrescesse con continuità dal valore 2 fino a circa 4/3. Sapevano calcolare la somma di alcune serie aritmetiche e geometriche e delle successioni di quadrati, e inoltre ottennero una buona approssimazione di radice quadrata di 2.

In geometria, conoscevano le formule per il calcolo dell’area di rettangolo, triangoli, trapezi, e del volume di figure solidi semplici quali parallelepipedi e cilindri, ma non giunsero mai a un’espressione corretta per il volume della piramide.

I greci elaborarono la loro matematica attingendo in parte alla matematica egizia, in parte a quella babilonese. Il fondamentale elemento di novità che essi introdussero fu l’allontanamento dall’approccio puramente empirico della matematica da loro ereditata a favore dell’invenzione di una matematica più astratta, fondata su una struttura logica di definizioni, assiomi e dimostrazioni.

Secondo testimonianze più tarde, questo sviluppo ebbe inizio nel VI secolo a.C. con Talete di Mileto e Pitagora di Samo. Quest’ultimo fu il fondatore di una scuola di pensiero filosofico-religioso che predicava l’importanza di studiare i numeri, considerati nel contempo il principio e l’essenza di tutte le cose. Alcuni dei discepoli continuarono gli studi iniziati nella celebre scuola di Crotone, in particolare nel campo dell’astronomia e della matematica, ottenendo risultati fondamentali nell’ambito della teoria dei numeri e della geometria, poi attribuiti a Pitagora stesso.

La prima formulazione ordinata e assiomatica dei contenuti della matematica del tempo fu comunque dovuta a Euclide; i 13 libri che costituiscono i suoi Elementi contengono infatti gran parte della conoscenza fondamentale del periodo precedente al IV secolo a.C.: la geometria dei poligoni e del cerchio, la teoria dei numeri, quella degli incommensurabili, la geometria solida, e la teoria elementare delle aree e dei volumi.

Dopo Euclide, Archimede e Apollonio, la Grecia non conobbe altri studiosi di geometria di simile valore. Gli scritti di Erone di Alessandria del I secolo d.C. mostrano anzi come le due tradizioni aritmetiche babilonese ed egizia, impostate sulle esigenze pratiche dell’agrimensura e della misurazione in generale, furono sopravvissute alla costruzione degli edifici logici dei grandi geometri greci.

Dopo Tolomeo, il grande astronomo che nel II secolo a.C. sviluppò la conoscenza della trigonometria, in molti centri della cultura greca venne avviata una tradizione di studi sui risultati della matematica dei secoli precedenti, cui probabilmente si deve il fatto che essi si siano conservati fino ai giorni nostri. Gli studi continuarono anche nel mondo islamico dove, dopo il periodo d’oro della matematica greca, apparvero i primi apporti originali.

Dopo un secolo d’espansione, durante il quale la religione islamica si diffuse dalla penisola arabica a tutta l’area compresa tra la Spagna e i confini della Cina, i musulmani iniziarono ad acquisire i risultati delle "scienze straniere".

In centri quali la Casa della Saggezza di Baghdad, sovvenzionata dai califfi al potere o da altri facoltosi benefattori, vennero stilate le versioni arabe degli scritti matematici greci e indiani. Intorno al ‘900 l’acquisizione era completa, e gli studiosi islamici poterono iniziare a costruire i loro edifici matematici sulle fondamenta greche e indiane.

Alcuni matematici islamici ottennero risultati di rilievo nel campo della teoria dei numeri, mentre altri illustrarono diversi metodi numerici di risoluzione delle equazioni.

L’Occidente latino acquisì gran parte di queste conoscenze nel corso del XII secolo, il secolo delle grandi traduzioni, e perciò permise il rapido sviluppo della matematica che segnò il corso del tardo Medioevo.

Il lavoro di matematici italiani quali Leonardo Fibonacci e Luca Pacioli, uno dei numerosi autori dell’algebra e dell’aritmetica destinate ai mercanti del XV secolo, si fondò in modo sostanziale su basi arabe.

Nel periodo tardo-medievale alcuni autori, ad esempio Nicole Oresme, fecero interessanti considerazioni sul problema dell’infinito in matematica; tuttavia la prima scoperta veramente importante dell’Occidente risale solo all’inizio del XVI secolo. Tale scoperta, una formula algebrica per la soluzione delle equazioni di terzo e quarto grado, venne pubblicata nel 1545 dal matematico italiano Gerolamo Cardano nella sua Ars Magna. Quest’opera attirò l’attenzione dei matematici sui numeri complessi e stimolò la ricerca delle soluzioni per le equazioni di grado superiore al quarto. Fu grazie a questo tipo di studi che si pervenne alla teoria dei gruppi, sul finire del XVIII secolo, e alla teoria delle equazioni del matematico francese Evariste Galois, all’inizio del XIX secolo.

Nell’ambito della geometria pura si ebbe nel corso del secolo un’importante scoperta.

La prima venne dalla pubblicazione del Discorso sul Metodo (1637) di Cartesio, che conteneva i primi importanti studi sulla geometria analitica, e che insieme ai brevi trattati che l’accompagnavano fornì le basi per gli studi matematici iniziati intorno al 1660 da Isaac Newton.

Quest’opera infatti apriva la strada a un nuovo ramo della matematica, la geometria analitica, che consentiva sia di applicare l’algebra sviluppata dal Rinascimento alla geometria delle curve, sia di dare una descrizione geometrica dei problemi la cui natura era fino ad allora esclusivamente algebrica.