TRASFORMAZIONI NON ISOMETRICHE

Si definiscono trasformazioni non isometriche quelle trasformazioni che non conservano le distanze fra i punti.

SIMILITUDINI

Si definisce similitudine una funzione biettiva del piano in se’ tale che, dati due punti P e Q e i loro corrispondenti P’ e Q’, fra la distanza dei punti P e Q e quella dei loro corrispondenti P’ e Q’ sussista la relazione:

= k *

dove k reale e positivo è detto rapporto di similitudine.

Nelle similitudini ogni distanza è modificata di un fattore costante k.

Se k=1, le distanze rimangono uguali e si ha una isometria ossia le isometrie sono un caso particolare di similitudine.

Fra le più semplici similitudini vi sono le OMOTETIE. Si definisce omotetia con centro in un punto O del piano, una trasformazione che soddisfa alle seguenti condizioni:

al punto O corrisponde se stesso;
ad ogni punto P diverso da O corrisponde il punto P’ allineato con O e P, tale che risulti

= k * con k reale positivo

Se k>1, l’omotetia è una dilatazione; se K<1, l’omotetia è una contrazione.

LE TRASFORMAZIONI AFFINI

Fissato un sistema di assi cartesiani (non necessariamente ortogonali), si definisce affinità’ una trasformazione del piano in se’ tale che ad ogni punto P (x, y) corrisponde un punto P’ (x’, y’) le cui coordinate sono date da:

con a, b, c, d, e, f R e det (A) = 0

Le proprietà caratteristiche dell’affinita’ sono:

- un’affinita’ trasforma rette in rette ;

- un’affinita’ trasforma rette parallele in rette parallele e rette incidenti in rette incidenti ;

- in un’affinita’ il rapporto fra le aree di due figure corrispondenti è eguale al valore assoluto del determinante della matrice della trasformazione .