APPLICAZIONE DELLA PARABOLA ALLE DISEQUAZIONI

Le disequazioni di secondo grado possono essere risolte anche in modo grafico tramite la parabola.

Per spiegare questo concetto dobbiamo fare però un passo indietro facendo riferimento alle equazioni di secondo grado. Abbiamo tre diversi tipi di equazione:

Le soluzioni sono date dalla formula: x = nella quale D = b2 - 4 ac oppure dalla formula ridotta x= , utilizzata se b è pari.

Le soluzioni si ottengono scomponendo il primo membro in x(ax + b)=0, quindi:

1) x=0 2) x= - b/ a

Le soluzioni reali si hanno solo se a e c sono discordi e sono date da: x=

Associamo all'equazione generale ax2 + bx + c = 0 la parabola y= ax2 + bx + c che utilizzeremo per la risoluzione delle disequazioni.

Esempi:

a) 1 + 3x - x2 ³ 0 in questo caso il coefficiente della x è negativo quindi è necessario cambiare sia il segno di tutti i termini a , b e c , sia il verso della disequazione . Si ottiene così la disequazione

x2 - 3x - 1 £ 0 . Ora dobbiamo fare riferimento alla parabola associata y = x2 - 3x - 1

Per costruire la parabola abbiamo bisogno di trovare le coordinate del vertice:

Xv = - b / 2a =3/2 ; Yv = (4ac - b2 ) / 4a = (- 4 + 3) / 4 = - 1/4

Ora dobbiamo trovare le intersezioni con i due assi cartesiani.

Sapendo che l’ equazione dell’asse y è x=0 e che l'equazione dell'asse y è x=0 otteniamo:

asse y Þ x= 0 y= - 1:

asse x Þ y=0 x 2 - 3x -1=0 . Ora ricaviamo D : D =b2 - 4ac= 9 + 4 = 13. Le soluzioni sono:

x=. Le soluzioni della disequazione sono rappresentate dai punti della parabola con ascissa negativa , le cui ascisse sono comprese fra x1 e x2. Quindi S=[x1,x2] .